あまりに注目

で、夜はおべんきょ。うれし恥ずかし数学タイムです。
今日のは「aで割ったあまりがr、bで割ったあまりがqである数nをひとつ求めよ」って話でした。
これ、ユークリッドの互除法から出てきた「aとbの最大公約数をdとすると、ax+by=dとなる整数x,yの組が存在する」から求めることができます。
ちなみにこれ、aとbが互いに素であれば存在しますが、そうでない時は存在しない場合もあります。で、存在する時の条件を求めたりしてました。
ここで直感的に求めることも可能なんですが
「あまりに注目してみましょう」
とのお言葉。なんでも「法演算」というのを使ってみるとか。これ、「aをnで割ったあまりとbをnで割ったあまりが等しい」ときに「aとbはnを法として合同である」→「a≡b(mod n)」ってやるそうです。簡単に言うと、「数」をあまりで分類する感じでしょうか。で、これを使うと、具体的にはあまりの差がaとbの最大公約数の倍数であることが条件になるようです。
ついでに「10で割ったあまりがr1で12で割ったあまりがr2である数nと10で割ったあまりがq1で12で割ったあまりがq2である数mがあるとき、nとmの差を求める」なんていうのもありました。これは十干十二支で考えた時の年の差をもとめるってお題でした。

でも、あまりって「あまり」っていうぐらいですから「いらないもの」「半端もの」って感じがしがちなんですが、実は「商」よりも「あまり」のほうが使い道があるんですね。
でも、「ま、そりゃそうだな」と、なんとなく納得もするわけで…^^;;。